космология

ТРЕНЕРОВОЧНАЯ МОДЕЛЬ РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ

В каждой шутке есть доля правды

Рассмотрим двумерную сферическую модель расширяющейся Вселенной, отличающуюся тем, что скорость увеличения радиуса сферы (радиуса кривизны) принимается постоянной и равной скорости света.

х х х

Итак, Вселенная - расширяющаяся сфера. По мере увеличения радиуса сферы происходит равномерное растяжение её поверхности. От каждой точки поверхности (а на рис.1) другие точки удаляются со скоростями пропорциональными их расстоянию. Очевидно, что точки в, расположенные на расстоянии (по дуге) равном длине радиуса, т.е. по углу на расстоянии одного радиана, удаляются со скоростью роста радиуса сферы. Следует отметить, что радиус и центр сферы находятся вне пространства, которое заключено в двумерной поверхности сферы. Центр сферы s является центром Большого взрыва. Точка а определяет луч, начальную ось в полярной системе координат. В качестве точки а примем нашу планету.

Точки в удаляются от точки а со скоростью света с. Другие точки к удаляются с космологической скоростью, пропорциональной их расстоянию

Угловое расстояние до этих точек .

Окружность на сфере, образуемая точками в и ограничивающая участок с центральным углом в два радиана, отделяет области пространства, удаляющиеся со сверхсветовыми скоростями. Эту границу называют горизонтом видимости, оптическим горизонтом, горизонтом масс, горизонтом событий, горизонтом причинности. Она отделяет доступную взору человека часть Вселенной - метагалактику от остальной части.

х х х

Определим параметры Вселенной. Примем время её существования - период от начала расширения до современной эпохи ( отмечаемой индексом О )

Тогда радиус сферической модели или радиус кривизны пространства Вселенной составит

Коэффициент пропорциональности в зависимости скорости удаления точек Вселенной от их расстояния или относительная скорость (скорость отнесенная к единице расстояния) будет

т.е. 2см/с на каждый световой год или 2см/год на каждую световую секунду.

Из формулы видно, что коэффициент зависит от радиуса, т.е. от времени существования Вселенной. 5 млрд. лет назад он равнялся трем, а 15 млрд. лет спустя будет равен единице. Эта медленно изменяющаяся величина называется постоянной Хаббла. При пересчете в другие единицы она равна . Постоянная Хаббла может быть выражена ещё через одну единицу размерности, т.к. в данной модели она представляет собой просто величину обратную времени существования Вселенной:

Поскольку имеет место изменение относительной скорости расширения Вселенной, то должно быть и относительное ускорение, точнее замедление растяжения пространства ( напомним, при постоянной скорости роста радиуса кривизны пространства Вселенной ):

Исходя из величины и гравитационной постоянной G определим среднюю плотность материи во Вселенной. Представим шар с радиусом равным одной единице - одному сантиметру. Его масса составит , где ρ искомая плотность. Ускорение силы тяжести на его поверхности: Приравняем его к ускорению, отнесенному к единице длины:

. Отсюда современная плотность

Т.к. при расширении трехмерного пространства плотность (левая часть уравнения) уменьшается пропорционально кубу радиуса или, в данной модели, кубу времени существования Вселенной, а относительное ускорение ( в правой части уравнения ) только его квадрату, то гравитационная

постоянная должна расти пропорционально этому времени:

G=kt.

Постоянным является коэффициент пропорциональности:

Постоянную к можно также выразить как произведение двух " непостоянных постоянных ": к =GH.

Относительное увеличение гравитационной постоянной за год в настоящее время составляет:

Это ещё одна форма выражения постоянной Хаббла.

Из такого роста гравитационной постоянной, в частности, следует, что сила притяжения между объектами, удаляющимися вследствие космологического расширения, уменьшалась бы пропорционально расстоянию, а не его квадрату.

Далее определим массу. Объем метагалактики и её масса :

Массу метагалактики можно определить и иным путем.

Т.к. скорость роста радиуса кривизны равна скорости света, то кинетическая энергия метагалактики равна .

В то же время она по закону механики равна половине гравитационной энергии . Получаем и

Отсюда и

В правой части последнего уравнения находятся две фундаментальные постоянные и одна фундаментальная переменная.

Здесь же отметим, что комптоновская длина волны для массы метагалактики .

Планковская длина:

х х х

Некоторые детали модели. Каждый объект притягивает другие, находящиеся ближе границы, на которой сила инерции космологического разбегания уравновешивает силу притяжения. Радиус захвата объекта массой m определим из равенства этих сил :

отсюда

Радиус захвата можно определить и другим путем. Он равен радиусу шара, имеющего плотность равную средней плотности материи во Вселенной, масса которого равна массе m рассматриваемого объекта. Иными словами, радиус захвата очерчивает долю пространства метагалактики, приходящуюся на данную долю её массы.

У галактик этот радиус составляет ~1,5 млн.св.лет. У метагалактики радиус захвата совпадает с её собственным радиусом. На поверхности сферической модели Вселенной галактики создают углубления локального отставания в расширении Вселенной. Глубина оспинок на расстоянии r от их центра

Если представить модель Вселенной в виде шара диаметром 1,5 метра, то диаметр оспинок на нём будет 0,15 мм. Оспинки образуют цепочки, в которых почти касаются друг друга, а цепочки образуют узоры с ячейками 10...30 мм.

У человека радиус захвата равен миллиону километров.

Поскольку только на уровне галактик и их скоплений расстояния между объектами превышают их радиусы захвата, то в расширении Вселенной участвует только межгалактическое пространство.

х х х

Построим траекторию движения частицы, движущейся со скоростью V.

При этом построим график для предельной скорости V=C, т.е. попытаемся приравнять тела к фотону, к световому импульсу.

Частица из точки а на рис. 2 движется по окружности со скоростью света, с такой же скоростью увеличивается радиус окружности. Точка в удаляется от точки а также со скоростью света и расстояние между ней и частицей сохраняется равным длине дуги ав, т.е. равным радиусу R0.

Траектория асимптотически приближается к прямой, параллельной радиусу Rb и отстоящей от него на расстоянии R0.

Положение движущейся точки М через время t после пуска определяется длиной радиус-вектора R и полярным углом β. Следующее из рисунка параметрическое задание траектории:

( для тела ),

из которого получаем уравнение

или

[для тела или ].

Приняв за полярную ось радиус Rв и обозначив угол 1-β=φ, выясняем, что полученная кривая представляет собой гиперболическую спираль:

Угол между кривой и радиус-вектором определяется через тангенс:

х х х

Немного юмора иного рода.

Как перед световым импульсом имеется точка в расширяющегося пространства, расположенная по направлению его движения на расстоянии Lb=Ro=cto и двигающаяся в ту же сторону с такой же скоростью с, так и каждому движущемуся объекту соответствует расположенная в направлении его движения точка пространства ( свой "горизонт" ), удаляющаяся в том же направлении и с той же скоростью V. Расстояние до неё L=(v/c)R0=vto. Для пешехода, идущего со скоростью 5 км/час, эта "путеводная звезда" находится на расстоянии L=Vto=70 световых лет (больше будет, если бегать трусцой ). Но здесь не учтено, что пешеходы ходят по Земле, которая движется в сторону созвездия Льва со скоростью 380 км/с. Расстояние до "двойника" Земли 20 млн. световых лет. Там и находится "призрак" Земли с витающими вокруг тенями пешеходов.

х х х

Вернемся к построенной на рис.2 траектории. Из рисунка и формулы

tgγ=1- β видно, что угол γ уменьшается по мере движения светового импульса. Тангенс этого угла выражает скорость движения относительно проходимых точек пространства: V=c tgγ -локальная скорость ( для тел Vл=Vн tgγ, где Vн начальная скорость). Получающееся уменьшение скорости импульса противоречит постоянству скорости света. Кроме того, полученная диаграмма допускает возможность ускорения передачи сигнала по сравнению с " естественным " полётом фотона. Если на пути замедляющегося светового луча установить ретранслятор, то переизлучение последнего составит угол 45 градусов с радиус-вектором и обгонит первичный сигнал. Набольшей скорости передачи сигнала достигнем, если ретрансляторы установить достаточно часто. Тогда след эстафеты образует кривую, пересекающую радиус-векторы под постоянным углом 45 градусов; скорость сигнала будет равна скорости света по отношению к любой проходимой им точки пространства.

Однако в установке ретрансляторов нет необходимости. Такой же характер движения - сохранение постоянного угла с радиус-вектором, сохранение постоянной локальной скорости, фотоны будут иметь, если предположить, что свет увлекается растягивающимся пространством.

Кривой с таким свойством (постоянным углом γ ) является логарифмическая спираль. Её уравнение

а при принятых здесь обозначениях

( и для света равно единице ).

Световая линия, соответствующая этому уравнению, изображена на рис.3 . Определим из полученного выражения угол β:

для импульса, исходящего из точки а, и для импульса, попадающего в точку а из прошлого.

Ранее полученное относительное ускорение (ао) и относительный путь ( угол β ) являются соответственно производной и первообразной функциями относительной скорости - постоянной Хаббла (Н=1/t).

х х х

Ещё раз рассмотрим два вида движения, соответствующих двум формам материи, по гиперболической и логарифмической спиралям.

Если в первом случае скорость тел постоянна относительно стартовой точки а и постепенно уменьшается относительно проходимых точек пространства, то во втором случае локальная скорость фотона постоянна относительно проходимых точек пространства, а относительно точки а скорость растет по формуле Vа= с ( 1+ β ), достигая удвоенной световой скорости на границе оптического горизонта. Относительно одновременно стартовавшей с субсветовой скоростью частицы скорость фотона равна V=c β.

Эти два вида движения можно показать на примере с двумя мухами. Раздувается резиновый шарик; по нему бежит одна муха, а вторая летит над его поверхностью. При одинаковой собственной скорости бегущая муха будет обгонять летящую за счёт растяжения опорной поверхности. Траектории мух (по кличке Бозон и Фермион) показаны на рис. 3 и 2. Точно также таракан, бегущий по растягиваемой резиновой ленте, закрепленной в точке старта, будет обгонять бегущего по столу.

х х х

На рис.3 световой импульс (фотон) достигает радиуса Rв. Угол β=1 он проходит за конечный промежуток времени t = to(е-1) =25,77 млд.лет, а при движении из прошлого за

Исчезает горизонт событий? Но это противоречит черному цвету звёздного неба над нами и сложившимся представлениям внутри нас.

Энергия фотонов пропорциональна частоте колебаний; в данной модели отношение конечной и начальной частот ωк/ωн=1-β. Частота уменьшается до нуля при достижении горизонта.

Таким образом оптический горизонт восстанавливается ; он существует не только в пространстве, но и во времени (см. рис.4). Первые 5,52 млрд. лет существования Вселенной закрыты для оптического наблюдения; то, что мы можем увидеть на краю Ойкумены, произошло 9,48 млрд. лет назад.

Из приведенного отношения частот следует отношение конечной и начальной длины волны Увеличение длин волн вызывает смещение линий спектра - красное смещение, которое определяется как

Из этих выражений находим, что β=Z/(Z+1). Для приходящего излучения

,отсюда ,

т.е. время путешествия светового луча

Современное линейное расстояние до этого же объекта

Например, квазар ОН 471, излучение которого имеет красное смещение Z=3,4 , находится на расстоянии 11,6 млрд.св.лет , а видим мы его

таким, каким он был 8 млрд. лет назад.

х х х

По мере движения фотоны, у которых появился параметр "возраст", теряют свою энергию вместе с частотой (тела теряют кинетическую энергию " увязая " в пространстве).

Попытаемся раскрыть понятие " возраст ". Два фотона, имеющие в данный момент одинаковую энергию (одинаковые ω и λ), достигнут каждый своего горизонта через разные промежутки времени, если один из них только что рожден, а второй сравнялся с ним по этим параметрам за время путешествия.

Должно быть какое-то различие в этих двух фотонах.

Энергия фотона пропорциональна квадрату амплитуды волны:

Энергия в системе СГС имеет размерность , а квадрат амплитуды- . Поэтому коэффициент пропорциональности n должен иметь размерность г/с².

. Принимаем . Энергия фотона

, отсюда . Здесь индекс "о" обозначает возраст Вселенной в момент рождения фотона.

(при подстановках использованы ранее приведенные зависимости и ).

В наше время

Если за площадь сечения фотона принять , то его "объем"

"Объем" фотона определяется только временем его рождения; он не зависит от энергии ( длины волны ) как при рождении, так и при деформации в процессе движения по расширяющемуся пространству ( что напоминает прокатку круглого стержня ).

Фотоны, рождающиеся в наше время, имеют "объем"

При приближении фотона к горизонту возникает момент (на расстоянии λн·е от горизонта ), когда изменяющиеся параметры фотона составят: λ=Rо , ω=Hо, А= λpl .

В указанном зазоре, возможно, возникает вторичный фотон.

х х х

В заключение вернемся к началу Большого сёрфинга (расширяющаяся Вселенная напоминает кольцевую волну от брошенного в воду камня).

В центре модели находится полюс, к которому гиперболическая и логарифмическая спирали неограниченно приближаются, но не достигают его. В математике эта точка называется асимптотической, в космологии точкой сингулярности. От этой точки началось расширение Вселенной, которое проявляется в красном смещении спектров далеких галактик и в знакомом всем нам течении времени. Но, возможно, течет не время, а мы летим через его поле (или физ.вакуум) ?